题目内容
已知抛物线
的焦点为F，以点
为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。
（I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；
（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。
的焦点为F，以点为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。（I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；
（II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。
故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项
解：（I）因为该抛物线的焦点F的坐标为
，故|FA|=4
所以，该圆的方程为
它与
轴的上方交于
把
中并化简得：
由（1）（2）（3）得
又由抛物线定义可得：
所以|FM|+|FN|=
而|MN|<|FM|+|FN|=8
又点F，M，N均在圆上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4
所以，|AM|+||AN=8，
因为，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|<8
所以，点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上， ………………8分
（II）若存在满足条件的实数a，
则有
设点P的坐标为
由（2）（3）得
这与矛盾
故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项 ………………13分
，故|FA|=4所以，该圆的方程为
它与
轴的上方交于把
中并化简得：
|
由（1）（2）（3）得又由抛物线定义可得：
所以|FM|+|FN|=
而|MN|<|FM|+|FN|=8
又点F，M，N均在圆上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4
所以，|AM|+||AN=8，
因为，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|<8
所以，点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上， ………………8分
（II）若存在满足条件的实数a，
则有
设点P的坐标为
由（2）（3）得
这与
矛盾故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项 ………………13分
练习册系列答案
相关题目
是抛物线
的焦点，
为准线与
轴的交点，直线
经过点
、
两点记
、
的斜率分别为
，
．（1）求证：
为定值； 
在线段
上，且满足
，求点
的右准线是抛物线的准线，抛物线的顶点是原点，求抛物线方程
到点
的距离比它到直线
的距离小1,则点
的焦点为
，点
、
、
在抛物线上，且
，则有
上有一点
，它到
的距离与它到焦点的距离之和最小，则点
的准线为
，
为
的两条切线，切点分别为
，
，再分别过
，
．
必经过
轴上的一个定点
，并写出点
，
，
的面积依次构成等差数列，求此时点
上一点P到定点A（0，1）的距离为2，则点P到
，过点（1，0）的直线
与抛物线交于
、
两点，则
.