题目内容
如图，点
是椭圆
的一个顶点，
的长轴是圆
的直径，
、
是过点
且互相垂直的两条直线，其中交圆
于
、
两点，交椭圆于另一点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）求
面积的最大值及取得最大值时直线的方程.
（1）
；当直线的方程为
时，的面积取最大值
.
解析试题分析：（1）首先根据题中条件求出
和
的值，进而求出椭圆的方程；（2）先设直线的方程为
，先利用弦心距、半径长以及弦长之间满足的关系（勾股定理）求出直线截圆所得的弦长
，然后根据直线与两者所满足的垂直关系设直线，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出直线截椭圆的弦长
，然后求出的面积的表达式，并利用基本不等式求出的面积的最大值，并求出此时直线的方程.
试题解析：（1）由题意得
，
椭圆的方程为；
（2）设
、
、
，
由题意知直线的斜率存在，不妨设其为
，则直线的方程为，
故点
到直线的距离为
，又圆，
，
又
，直线的方程为
，
由
，消去
，整理得
，
故
，代入的方程得
，
设的面积为
，则
，
，
当且仅当
，即
时上式取等号，当时，的面积取得最大值，
此时直线的方程为
考点：1.椭圆的方程；2.直线与圆、椭圆的位置关系；3.基本不等式
练习册系列答案
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．称圆心在原点O，半径为
的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到F的距离为
．
，使得
与椭圆C都只有一个交点，试判断
= 2
，求直线l的方程．
的准线与x轴交于点M，过点M作圆
的两条切线，切点为A、B，
.
过点
，且离心率为
.斜率为
的直线
与椭圆
交于A、B两点，以
为底边作等腰三角形，顶点为
.
的面积．
与分别在
轴、
轴上的动点
满足：
,动点
满足
．
两点，直线
与直线
分别交于点
（
为坐标原点）；
为直径的圆的位置关系；
是否为定值？并证明你的结论.
的左右焦点分别为
、
，短轴两个端点为
、
，且四边形
是边长为2的正方形.
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于点
，证明：
为定值；
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
的离心率为
，过左焦点
且斜率为
的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线
：
交椭圆E于C,D两点.
的焦点在
轴上，离心率为
，对称轴为坐标轴，且经过点
．
的方程；
与椭圆
相交于
、
两点， 
为原点，在
、
点的点
、
，使得
在以
为直径的圆外，求直线斜率
的取值范围．