题目内容
如图，已知椭圆E:
的离心率为
，过左焦点
且斜率为
的直线交椭圆E于A,B两点，线段AB的中点为M,直线
：
交椭圆E于C,D两点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）求证：点M在直线上；
（3）是否存在实数k,使得三角形BDM的面积是三角形ACM的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由.
（1）
；（2）证明过程详见解析；（3）存在.
解析试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用已知的离心率和左焦点坐标，得到基本量a,b,c的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，设出点A、B、M的坐标和直线的方程，令直线的方程与椭圆的方程联立，利用所得方程，根据韦达定理得到
，从而得到
的坐标，
由直线方程获得，验证
是否在上即可；第三问，数形结合，根据已知条件将题目转化为C点坐标
与M点坐标的关系，通过直线与椭圆联立消参，得到的坐标，令
，解出k的值，k有解，即存在.
试题解析：（1）由题意可知
，
，于是
.
所以，椭圆的标准方程为程. 3分
（2）设
，
，
，
即
.
所以，
，
，
，
于是
.
因为
，所以
在直线上. 8分
（3）由（2）知点A到直线CD的距离与点B到直线CD的距离相等，
若∆BDM的面积是∆ACM面积的3倍，
则|DM|=3|CM|，因为|OD|=|OC|，于是M为OC中点，；
设点C的坐标为
，则.因为
，解得
.
于是
，解得
，所以
. 14分
考点：椭圆的标准方程、直线与椭圆的相交问题、韦达定理、中点坐标公式.
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的方程为
，过原点作斜率为
的直线和曲线
，过
的直线与曲线
，过
的直线与曲线
，如此下去，一般地，过点
作斜率为
的直线与曲线
，设点
（
）．
，并求
与
的关系式（
（
， 向哪一点无限接近？说明理由；
，数列
的前
项和为
，设
，求所有可能的乘积
的和．
是椭圆
的一个顶点，
的长轴是圆
的直径，
、
是过点
且互相垂直的两条直线，其中
于
、
两点，
.
面积的最大值及取得最大值时直线
点
分别是
轴和
轴上的动点，且
，动点
满足
，设动点
，过M,N两点分别作曲线E的切线，记两切线的交点为
，求
的最小值.
的离心率
，长轴的左右端点分别为
，
．
与曲线
，且与直线
相交于点
.问在
轴上是否存在定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且
，
的面积为1（其中
为坐标原点）.
，连结CM，交椭圆于点
，证明：
为定值；
轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
，
最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.
的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，该椭圆的离心率为
，
的面积为
.
交椭圆于P、Q两点，
，求直线