题目内容
已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，短轴两个端点为
、
，且四边形
是边长为2的正方形.
（1）求椭圆方程；
（2）若
分别是椭圆长轴的左右端点，动点
满足
，连接
，交椭圆于点
，证明：
为定值；
（3）在（2）的条件下，试问
轴上是否存在异于点
的定点
，使得以
为直径的圆恒过直线
的交点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)
；（2）详见解析；（3）存在Q(0,0)
解析试题分析：(1)根据椭圆的简单几何性质易得；(2)可设
，写出直线CM的方程，与椭圆方程联立，把P的坐标用
表示，然后进行平面向量的坐标运算即可；（3）对于存在性问题，可先假设定点存在，然后向量进行坐标运算求出Q（0，0）满足条件.
试题解析：（1）
，
，
椭圆方程为,4分
（2）
，设，则
,
直线：
，即
，
代入椭圆
得
,
，
，
，
（定值）,10分
（3）设存在
满足条件，则
,
从而得m=0，∴存在Q（0，0）满足条件.14分
考点：(1)椭圆的简单几何性质；（2）平面向量的坐标运算；（3）存在性问题.
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，经过椭圆
的右焦点F及上顶点B，过圆外一点
倾斜角为
的直线
交椭圆于C，D两点，
（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为
．
与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，
恒为定值．
是椭圆
的一个顶点，
的长轴是圆
的直径，
、
是过点
且互相垂直的两条直线，其中
于
、
两点，
.
面积的最大值及取得最大值时直线
的离心率为
，以原点
为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切。
的标准方程；
与椭圆
、
两点，且
，试判断
的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
点
分别是
轴和
轴上的动点，且
，动点
满足
，设动点
，过M,N两点分别作曲线E的切线，记两切线的交点为
，求
的最小值.
的离心率
，长轴的左右端点分别为
，
．
与曲线
，且与直线
相交于点
.问在
轴上是否存在定点
，使得以
为直径的圆恒过定点
，
最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围.
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，
的中点在直线
上．
在椭圆上（异于点
，
两点，证明
为定值并求出该定值．