题目内容
已知函数.
(1)设函数求
的极值.
(2)证明:在
上为增函数。
(1) 当时,
无极值;当
时,
在
处取得极小值
,无极大值。 (2)见解析
解析试题分析:(1) ,在求极值时要对参数
讨论,显然当
时
为增函数,无极值,当
时可求得
的根,再讨论两侧的单调性;(2)要证明增函数,可证明
恒正,可再次对函数
进行求导研究其单调性与最值,只要说明
的最小值恒大于等于0即可.已知函数在一个区间上的单调性,可转化为导函数在这个区间上恒正或恒负问题,变为一个恒成立问题,可用相应函数的整体最值来保证,若求参数范围可以采用常数分离法.
试题解析:(1)由题意:
①当时,
,
为
上的增函数,所以
无极值。
②当时,令
得,
,
;
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增
所以在
处取得极小值,且极小值为
,无极大值
综上,当时,
无极值;当
,
在
处取得极小值
,无极大值。
(2)由
设,则
所以时,
;
时,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以即
在
上单调递增.
考点:1、函数的极值最值求法;2、构造函数解决新问题.

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