题目内容

已知函数.
(1)设函数的极值.
(2)证明:上为增函数。

(1) 当时,无极值;当时,处取得极小值,无极大值。 (2)见解析

解析试题分析:(1) ,在求极值时要对参数讨论,显然当为增函数,无极值,当时可求得的根,再讨论两侧的单调性;(2)要证明增函数,可证明恒正,可再次对函数进行求导研究其单调性与最值,只要说明的最小值恒大于等于0即可.已知函数在一个区间上的单调性,可转化为导函数在这个区间上恒正或恒负问题,变为一个恒成立问题,可用相应函数的整体最值来保证,若求参数范围可以采用常数分离法.
试题解析:(1)由题意:
①当时,上的增函数,所以无极值。
②当时,令得, 

所以上单调递减,在上单调递增
所以处取得极小值,且极小值为,无极大值
综上,当时,无极值;当处取得极小值,无极大值。
(2)由
,则
所以时,时,
所以上单调递减,在上单调递增,
所以上单调递增.
考点:1、函数的极值最值求法;2、构造函数解决新问题.

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