题目内容
（2009•虹口区二模）数列{an}满足a1=2，an+1=λan+2n（n∈N*），λ为非零常数
（1）是否存在实数λ，使得数列{an}成为等差数列或者成为等比数列，若存在则找出所有的λ，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；
（2）当λ=1时，记bn=an+
×2n，证明数列{bn}是等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
（1）是否存在实数λ，使得数列{an}成为等差数列或者成为等比数列，若存在则找出所有的λ，并求出对应的通项公式；若不存在则说明理由；
（2）当λ=1时，记bn=an+
| 1 | 9 |
（3）求数列{an}的通项公式．
分析：（1）a1=2，a2=2λ+2，a3=λa2+4=2λ2+2λ+4．分两种情况讨论①数列{an}为等差数列，得λ2-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数λ，②若数列{an}为等比数列得（2+2λ）2=2（2λ2+2λ+4），解得λ=1，an+1=an+2n解得an=2n，故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列．
（2）λ=1时由（1）可得，bn=2n+
=
•2n，容易证明
（3）①当λ=1时，转化为等比数列求解．②当λ=2时，构造等差数列 {
}求解，，③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列 {an+
}求解．
（2）λ=1时由（1）可得，bn=2n+
| 2n |
| 9 |
| 10 |
| 9 |
（3）①当λ=1时，转化为等比数列求解．②当λ=2时，构造等差数列 {
| an |
| 2n |
| 2n |
| λ-2 |
解答：解：（1））a1=2，a2=2λ+2，a3=λa2+4=2λ2+2λ+4（1分）
①若数列{an}为等}为等差数列，则得λ2-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数λ，（3分）
②若数列{an}为等比数列得（2+2λ）2=2（2λ2+2λ+4），解得λ=1
则an+1=an+2n
a2-a1=2
a3-a2=22
…
an-an-1=2n-1
由累加法得：an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2
解得an=2n（n≥2）
显然，当n=1时也适合，故an=2n（n∈N*）．
故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列，其通项公式为an=2n（6分）
（2）λ=1时由（1）可得，bn=2n+
=
•2n，
∴
=2
∴数列{bn}是等比数列
（3））①当λ=1时，an=2n，
由等比数列的求和公式可得，Sn=
=2n+1-2（7分）
②当λ=2时，构造等差数列 {
}求解，，③当λ≠1且λ≠2时，构造等比数列 {an+
}求解．
①若数列{an}为等}为等差数列，则得λ2-λ+1=0由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数λ，（3分）
②若数列{an}为等比数列得（2+2λ）2=2（2λ2+2λ+4），解得λ=1
则an+1=an+2n
a2-a1=2
a3-a2=22
…
an-an-1=2n-1
由累加法得：an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2
解得an=2n（n≥2）
显然，当n=1时也适合，故an=2n（n∈N*）．
故存在实数λ=1，使得数列{an}为等比数列，其通项公式为an=2n（6分）
（2）λ=1时由（1）可得，bn=2n+
| 2n |
| 9 |
| 10 |
| 9 |
∴
| bn+1 |
| bn |
∴数列{bn}是等比数列
（3））①当λ=1时，an=2n，
由等比数列的求和公式可得，Sn=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
②当λ=2时，构造等差数列 {
| an |
| 2n |
| 2n |
| λ-2 |
点评：本题是一道数列综合题，情景熟悉，貌似简单，入手也不难，但综合程度之高令人叹为观止．无论是分类讨论的思想，还是反证推理、求数列通项和数列求和都考查得淋漓尽致，累加法和待定系数法求数列的通项、错位相减法和分组求和法求数列的前n项和，几乎数列的所有知识和方法都熔于一炉．
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