题目内容
【题目】抛物线,
为直线
上的动点,过点
作抛物线
的两条切线,切点分别为
,
.
(1)证明:直线过定点;
(2)若以为圆心的圆与直线
相切,且切点为线段
的中点,求该圆的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
【解析】
(1)设点,
,
,利用导数求出切线
的斜率,再利用斜率公式求出切线
的斜率,进而求出直线
的方程,从而可证明直线
过定点;
(2)将直线的方程与抛物线的方程联立,利用韦达定理,求出
点坐标,借助向量垂直的坐标运算,求得
或
,进而求得圆的面积.
(1)设,
,则
,
由,
所以,所以切线
的斜率为
,
故,整理得
,
设,同理可得
,
所以直线的方程为
,
所以直线恒过定点
.
(2)由(1)得直线的方程为
,
由,得
,
,
,
设为线段
的中点,则
,
由于,而
,
与向量
平行,所以
,
解得或
,
当时,圆
半径
,所以圆
的面积为
,
当时,圆
半径
,所以圆
的面积为
.
所以,该圆的面积为或
.
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