题目内容
【题目】设是圆
上的任意一点,
是过点
且与
轴垂直的直线,
是直线
与
轴的交点,点
在直线
上,且满足
当点
在圆
上运动时,记点
的轨迹为曲线
.
求曲线
的方程;
已知直线
与曲线
交于
两点,点
关于
轴的对称点为
,设
,证明:直线
过定点,并求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】
(1)点在圆
上运动,引起点
的运动,我们可以由
,得到点
和点
坐标之间的关系式,并由点
的坐标满足圆的方程得到点
坐标所满足的方程;
(2)设,
,则
,联立
,得韦达定理,利用直线的斜率,求直线
的方程,即可直线
过定点,并求出
面积的最大值.
解:设
,
,
,
在直线
上,
,
点
在圆
上运动,
将式代入
式即得曲线
的方程为
.
证明:设
,
,则
,
联立,得
,
,
.
直线
的斜率
,
直线
的方程为
令,得
,
直线
过定点
面积
,
当且仅当,即
时取等号,
面积的最大值为
.
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