题目内容

12.如图所示,P、Q为△ABC内的两点,且$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{AQ}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{AP}$-$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AC}$,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(  )
A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{1}{3}$

分析 分别设出$\overrightarrow{AM}$和$\overrightarrow{AN}$,进而根据四边形法则确定三角形ABP和三角形ABC,以及三角形ABQ和三角形APQ的比例关系,进而求得答案.

解答 解:
设$\overrightarrow{AM}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$
则 $\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{AN}$
由平行四边形法则知NP∥AB        
所以 $\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ABC}}$$\frac{|\overrightarrow{AN|}}{|\overrightarrow{AC|}}$$\frac{1}{5}$,
同理 $\frac{{S}_{△ABQ}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{4}$
故 $\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ABQ}}$=$\frac{4}{5}$,
故选C.

点评 本题主要考查了平面向量的应用.用向量解决几何问题的步骤:建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面问题转化为向量问题;
通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如:距离,夹角等,把运算结果“翻译”成几何关系.

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