Question

14．若实数x、y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-19≥0}\\{x-y+8≥0}\\{2x+y-14≤0}\end{array}\right.$，求下列目标函数的最值．
（1）z=2x-y；（2）z=$\frac{y}{x}$；（3）z=x²+y²．

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域：（1）平移直线y=2x-z即可；（2）根据z=$\frac{y}{x}$表示直线的斜率结合图象求出即可；（3）根据两点的距离公式计算即可．

解答 解：平面区域M如如图所示：

求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）；
（1）z=2x-y得：y=2x-z，
显然直线过B时z最小，过C时z最大，
∴Z_最大值=-2，Z_最小值=-8；
（2）由图象得：z=$\frac{y}{x}$得：
过OB的斜率最大，过OC的斜率最小，
∴Z_最大值=$\frac{9}{1}$=9，Z_最小值=$\frac{8}{3}$；
（3）z=x²+y²．
显然OA最大，
设原点O到直线BC的距离为d，
则：d=$\frac{19}{\sqrt{5}}$=$\frac{19\sqrt{5}}{5}$
∴Z_最大值=4+100=104，Z_最小值=d²=$\frac{361}{5}$．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础．