题目内容
(本小题满分12分)
已知椭圆方程为,射线(x≥0)与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于M).
(Ⅰ)求证直线AB的斜率为定值;
(Ⅱ)求△面积的最大值.
已知椭圆方程为,射线(x≥0)与椭圆的交点为M,过M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于A、B两点(异于M).
(Ⅰ)求证直线AB的斜率为定值;
(Ⅱ)求△面积的最大值.
(Ⅰ)∵斜率k存在,不妨设k>0,求出M(,2).-------------------------------1分
直线MA方程为,
分别与椭圆方程联立,可解出,----------------------------3分
同理得,直线MB方程为.-------4分
∴ ,为定值.----------------------------------------------------6分
(Ⅱ)设直线AB方程为,与联立,消去y得
.----------- -----------------------------7分
由>0得一4<m<4,且m≠0,
点M到AB的距离为.------------------------------------------------------8分
---9分
设△AMB的面积为S. ∴ .
当时,得.--------------------------------------------------------------12分
直线MA方程为,
分别与椭圆方程联立,可解出,----------------------------3分
同理得,直线MB方程为.-------4分
∴ ,为定值.----------------------------------------------------6分
(Ⅱ)设直线AB方程为,与联立,消去y得
.----------- -----------------------------7分
由>0得一4<m<4,且m≠0,
点M到AB的距离为.------------------------------------------------------8分
---9分
设△AMB的面积为S. ∴ .
当时,得.--------------------------------------------------------------12分
略
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