题目内容

扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为（米），外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）为（米）.

⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过米，则其腰长应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.

（1）；（2）；（3）外周长的最小值为米，此时腰长为米.

解析试题分析：（1）将梯形高、上底和下底用或表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.
试题解析：⑴，其中，，
∴，得，   由，得
∴；                              6分
⑵得∵ ∴腰长的范围是   10分
⑶，当并且仅当，即时等号成立．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米。            16分
考点：函数的应用、基本不等式、函数的最值.

练习册系列答案
相关题目

已知函数是定义在上的偶函数，当时，。
（1）求的函数解析式，并用分段函数的形式给出；
（2）作出函数的简图；
（3）写出函数的单调区间及最值．

已知函数（）．
（1）求的单调区间；
（2）如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值；
（3）讨论关于的方程的实根情况．

某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进行开发建设，阴影部分为一公共设施建设不能开发，且要求用栏栅隔开（栏栅要求在一直线上），公共设施边界为曲线的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点，交曲线于点，设．

（1）将△（为坐标原点）的面积表示成的函数；
（2）若在处，取得最小值，求此时的值及的最小值．

已知函数.
（1）当时，画出函数的简图，并指出的单调递减区间；
（2）若函数有4个零点，求a的取值范围．

已知函数：
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且的长度为.

已知函数，其中
（1）写出的奇偶性与单调性（不要求证明）；
（2）若函数的定义域为，求满足不等式的实数的取值集合；
（3）当时，的值恒为负，求的取值范围.

设是同时符合以下性质的函数组成的集合：
①，都有；②在上是减函数．
（1）判断函数和()是否属于集合，并简要说明理由；
（2）把（1）中你认为是集合中的一个函数记为,若不等式对任意的总成立，求实数的取值范围．

已知函数，.
(I)求函数的单调区间；
(Ⅱ)当时，函数恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)设正实数满足，求证：．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网