题目内容
【题目】已知抛物线
焦点为
，直线
过与抛物线交于
两点.到准线的距离之和最小为8.
（1）求抛物线方程；
（2）若抛物线上一点
纵坐标为
，直线
分别交准线于
.求证：以
为直径的圆过焦点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意及抛物线定义，可知
，从而可求出抛物线方程；
（2）当直线
与
轴垂直时，求出
，
的坐标，进而证得以
为直径的圆过焦点
；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，
点和
点坐标，并与抛物线方程联立，
借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得
，从而证出以为直径的圆过焦点.
（1）
到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为
，
最小为通径，所以，解得
，
所以抛物线方程为.
（2）抛物线焦点
，准线方程：
，
由
点纵坐标为
，得
，
当直线与
轴垂直时，
直线方程为
，此时，
，
，
直线
：
，直线
：
，
所以，
，
，
所以，圆心坐标为
，半径
，
焦点到圆心的距离
，
此时，以为直径的圆过焦点.
当直线与轴不垂直时，
设直线
，设
，
，得
，
，
，
直线为
代入准线得：
同理可得
，
所以
，所以焦点在以为直径的圆上.
综上，以为直径的圆过焦点.
【题目】某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了让健身馆会员参与的健身促销活动．
（1）为了解会员对促销活动的兴趣程度，现从某周六参加该健身馆健身活动的会员中随机采访男性会员和女性会员各
人，他们对于此次健身馆健身促销活动感兴趣的程度如下表所示：
感兴趣 | 无所谓 | 合计 | |
男性 |
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女性 |
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合计 |
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根据以上数据能否有
的把握认为“对健身促销活动感兴趣”与“性别”有关？
（参考公式
，其中
）
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（2）在感兴趣的会员中随机抽取
人对此次健身促销活动的满意度进行调查，以茎叶图记录了他们对此次健身促销活动满意度的分数（满分分），如图所示，若将此茎叶图中满意度分为“很满意”（分数不低于
分）、“满意”（分数不低于平均分且低于分）、“基本满意”（分数低于平均分）三个级别．先从“满意”和“很满意”的会员中随机抽取两人参加回访馈赠活动，求这两人中至少有一人是“很满意”会员的概率．
