题目内容
3．函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，f′（x）＜$\frac{1}{2}$，则不等式f（x2）＜$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．分析 根据条件构造F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，利用导数研究函数的单调性，然后将f（x2）＜$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$可转化成f（x2）-$\frac{1}{2}$x2＜f（1）-$\frac{1}{2}$，即F（x2）＜F（1），根据单调性建立关系，解之即可．
解答 解：令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，又f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
则F'（x）=f'（x）-$\frac{1}{2}$＜0
∴F（x）在R上单调递减
∵f（1）=1，
∴f（x2）＜$\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}$可转化成f（x2）-$\frac{1}{2}$x2＜f（1）-$\frac{1}{2}$，
即F（x2）＜F（1）
根据F（x）在R上单调递减则x2＞1
解得x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．
点评 本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及利用构造法新函数解不等式，同时考查了转化思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
18．已知直线L1：（3+m）x+4y=5-3m与直线L2：2x+（6+m）y=8垂直，则m的值为（ ）
| A． | 5 | B． | -5 | C． | 3 | D． | -4 |
12．已知函数f（x）=log2（x2-2x-3），则使f（x）为减函数的x的区间是（ ）
| A． | （-∞，1） | B． | （-1，1） | C． | （1，3） | D． | （-∞，-l） |
13．
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列四个命题：
①函数f（x）的极大值点为2；
②函数f（x）在[2，4]上是减函数；
③如果当x∈[m，5]时，f（x）的最小值是-2，那么m的最大值为4；
④函数y=f（x）-a（a∈R）的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的是①②③④．
已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．下列四个命题：| x | -1 | 0 | 4 | 5 |
| f（x） | -1 | -2 | -2 | -1 |
②函数f（x）在[2，4]上是减函数；
③如果当x∈[m，5]时，f（x）的最小值是-2，那么m的最大值为4；
④函数y=f（x）-a（a∈R）的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的是①②③④．