题目内容

13．已知数列{an}的前n项和Sn=2n+2-4．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=an•log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

分析 （1）Sn=2n+2-4①，Sn-1=2n+1-4，②运用递推关系是求解即可．
（2）求解得出bn=an•log2an=（n+1）•2n+1，利用错位相减法求解数列的和．

解答 解：∵数列{an}的前n项和Sn=2n+2-4．
∴a1=23-=4，
∵Sn=2n+2-4．①
Sn-1=2n+1-4，②
①-②．an=2n+1，n≥2．
n=1符合式子，
∴an=2n+1，
（2）∵log22n+1=n+1，
∴bn=an•log2an=（n+1）•2n+1，
∴数列{bn}的前n项和Tn=2×22+3×23+4×242t…+n•2n+（n+1）×2n+1，③
2Tn=2×23+3×24+4×25+…+n×2n+1+（n+1）×2n+2，④
③-④得出：-Tn=8+（23+24+25+…+2n+1）-（n+1）×2n+2=2n+2-（n+1）×2n+2=-n×2n+2，
∴Tn=n×2n+2．

点评 本题考察了数列的和与通项的关系，利用错位相减法求解数列的和，考察了学生的化简运算能力，属于难题．

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