Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；
（3）解关于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1中，

令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）﹣1，

解可得：f（0）=1

（2）证明：设x1＞x2，则x1=x2+（x1﹣x2），且x1﹣x2＞0，

则有f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x2）+f（x1﹣x2）﹣1，

即f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1，

又由x1﹣x2＞0，则有f（x1﹣x2）＞1，

故有f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1＞0，

即函数f（x）为增函数

（3）解：根据题意，f（2t2﹣t）＜1，

又由f（0）=1且函数f（x）为增函数，

则有2t2﹣t＜0，

解可得0＜t＜

【解析】（1）用赋值法分析：在f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1中，令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）﹣1，解可得f（0）的值，即可得答案；（2）用定义法证明：设x1＞x2，则x1=x2+（x1﹣x2），且（x1﹣x2）＞0，结合题意可得f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x2）+f（x1﹣x2）﹣1，作差可得f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）﹣1，分析可得f（x1）﹣f（x2）＞0，由增函数的定义即可得证明；（3）根据题意，结合函数的奇偶性与f（0）=1可得2t2﹣t＜0，解可得t的取值范围，即可得答案．