题目内容
【题目】已知函数(
且
)
(1)判断并证明的奇偶性;
(2)求使的
的取值范围;
(3)若,是否存在实数
,使得
有三个不同的零点,若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)奇函数,证明见解析;(2)当时,
;当
时,
;(3)
.
【解析】
(1)先求函数的定义域,并判断关于原点对称,再利用奇偶性的定义,得到和
的关系,从而得到结论.
(2)由对数函数的图象可知,要使,需分
和
两种境况讨论.
(3)将函数的零点转化为研究函数
与函数
图象有3个不同的交点,通过函数图象得到
.
(1)函数
的定义域为
关于原点对称,
,
函数
是奇函数;
(2),即
,
即,
①,等价于
,等价于
,由定义域知0>
.
故对,当
时有
.
②对,等价于
,等价于
.
故对,当
时有
.
综上可得:当时,
;当
时,
.
(3),
函数有3个不同的零点
方程
有3个不同的根,
由(1)知所以
所以,
令如图所示:
当时,
,
所以当时,函数
与函数
图象有3个不同的交点,
所以当时,函数
有3个不同的零点.
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