Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为点，，其离心率为，短轴长为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】试题（1）由，及，可得方程；

（2）易知直线不能平行于轴，所以令直线的方程为与椭圆联立得，令直线的方程为，可得，进而由是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.

试题解析：

（1）由已知，得，，

又，

故解得，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1），知，如图，

易知直线不能平行于轴.

所以令直线的方程为，

，.

联立方程，

得，

所以，.

此时，

同理，令直线的方程为，

，，

此时，，

此时.

故.

所以四边形是平行四边形.

若是菱形，则，即，

于是有.

又，

，

所以有，

整理得到，

即，上述关于的方程显然没有实数解，

故四边形不可能是菱形.