题目内容
如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．
（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），
∴
=（-2，0，1）．
∵
=（-2，2，-4），
=（2，2，0），
∴
•
=4+0-4=0且
•
=-4+4+0=0，
∴
⊥
且
⊥
，
∵DB∩BE=B
∴A1C⊥平面BDE；
（2）由（1）知
=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量，
∵
=（0，2，-4），
∴cos＜
，
＞=
=
，
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为
．
则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），
∴
| BE |
∵
| A1C |
| DB |
∴
| A1C |
| BE |
| A1C |
| DB |
∴
| A1C |
| DB |
| A1C |
| BE |
∵DB∩BE=B
∴A1C⊥平面BDE；
（2）由（1）知
| A1C |
∵
| A1B |
∴cos＜
| A1C |
| A1B |
| ||||
|
|
| ||
| 6 |
∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为
| ||
| 6 |
练习册系列答案
相关题目
