Question

（1）设扇形的周长是定值为，中心角．求证：当时该扇形面积最大；
（2）设．求证：．

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析.

解析试题分析：（1）由扇形周长为定值可得半径与弧长关系(定值)，而扇形面积，一般地求二元函数最值可消元化为一元函数(见下面详解)，也可考虑利用基本不等式，求出最值，并判断等号成立 条件，从而得解；（2）这是一个双变元(和)的函数求最值问题，由于这两个变元没有制约关系，所以可先将其中一个看成主元，另一个看成参数求出最值(含有另一变元)，再求解这一变元下的最值，用配方法或二次函数图象法.
试题解析：（1）证明：设弧长为，半径为，则，          2分

所以，当时，                                  5分
此时，而
所以当时该扇形面积最大                         7分
（2）证明：
                     9分
∵，∴，                        11分
∴当时，         14分
又，所以，当时取等号，
即．                                 16分
法二：
                            9分
∵，,                 11分
∴当时，
，                    14分
又∵，∴
当时取等号
即．                                             16分
考点：扇形的周长和面积、三角函数、二次函数.