题目内容
【题目】已知数列{an}是等比数列，首项a1＝1，公比q>0，其前n项和为Sn，且S1＋a1，S3＋a3，S2＋a2成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足an＋1＝
，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值.
【答案】(1) 
；(2)1.
【解析】试题分析：
(1)由题意可知2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，据此整理计算可得： 
，则数列的通项公式为
.
(2)由题意结合
和(1)中求得的通项公式可得
，错位相减有Tn＝1＋(n－1)2n.则原问题等价于(Tn)min≥m.结合数列{Tn}为递增数列可得m的最大值为1.
试题解析：
(1)由题意可知
2(S3＋a3)＝(S1＋a1)＋(S2＋a2)，
∴S3－S1＋S3－S2＝a1＋a2－2a3，
即4a3＝a1，
于是
，∵q>0，∴
.
∵a1＝1，∴ 
.
(2)∵an＋1＝(
)anbn，
∴(
)n＝(
)anbn，∴
，
∴
，①
∴
，②
∴①－②得－Tn＝1＋2＋22＋…＋
－n·2n＝
－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Tn＝1＋(n－1)2n.
要使Tn≥m恒成立，
只需(Tn)min≥m.
∵Tn＋1－Tn＝n·2n＋1－(n－1)·2n＝(n＋1)·2n>0，
∴{Tn}为递增数列，
∴当n＝1时，(Tn)min＝1，
∴m≤1，∴m的最大值为1.
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