题目内容
【题目】设椭圆:
(
)的右焦点为
,短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
是四条直线
,
所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点,
是椭圆
上任意一点,若
,求证:
为定值;
(3)过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,且满足△
与△
的面积的比值为
,求直线
的方程.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)根据椭圆焦点坐标求得,根据短轴端点到焦点的距离求得
,由此求得
,进而求得椭圆的标准方程.
(2)求得的坐标,设出
点坐标
,结合向量的坐标运算,由
求得
,也即求得
点坐标,将其代入椭圆,化简后证得
为定值.
(3)将三角形和三角形
的面积的比值,转化为边长的比值,即
.当直线
斜率不存在时,根据椭圆的对称性可知
,不符合题意.当直线
的斜率不存在时,设出直线
的方程
.代入椭圆方程,化简后写出韦达定理.由
,求得
,代入韦达定理,由此解方程求得
的值,进而求得直线
的方程.
(1)由已知,,
又,故
,
所以,,所以,椭圆
的标准方程为
.
(2),
,
设,则
,
由已知,即
,
所以 ,所以
,化简得
为定值.
(3)等价于
,
当直线的斜率不存在时,
,不合题意.
故直线的斜率存在,设
:
,
由消去
,得
,
设,
,则
①,
②,
由,得
,
,将其代入①②,得
③,
④.将③代入④,化简得
,解得
.
所以,直线的方程为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】足球是世界普及率最高的运动,我国大力发展校园足球.为了解本地区足球特色学校的发展状况,社会调查小组得到如下统计数据:
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校y(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱.
(已知:,则认为y与x线性相关性很强;
,则认为y与x线性相关性一般;
,则认为y与x线性相关性较):
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).
参考公式和数据:,
,
.