题目内容
【题目】(1)设椭圆与双曲线
有相同的焦点
、
,
是椭圆
与双曲线
的公共点,且△
的周长为6,求椭圆
的方程;我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”;
(2)如图,已知“盾圆”的方程为
,设“盾圆
”上的任意一点
到
的距离为
,
到直线
的距离为
,求证:
为定值;
(3)由抛物线弧(
)与第(1)小题椭圆弧
(
)所合成的封闭曲线为“盾圆
”,设过点
的直线与“盾圆
”交于
、
两点,
,
,且
(
),试用
表示
,并求
的取值范围.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3)
,
;
,
;
.
【解析】
(1)由由的周长为
得
,由椭圆
与双曲线共焦点可得
值,根据平方关系求得
,进而即可得到椭圆方程;
(2)设“盾圆”上的任意一点
的坐标为
,
,分为
与
两种情况表示出
,再分别计算
,即可求得定值;
(3)由“盾圆”的对称性,不妨设
在
轴上方(或
轴上),分类讨论:
时,
在椭圆弧
上;
时,
在抛物弧
上,由条件可表示出此时
,相应地,
再按
时,
在抛物弧
上,
在椭圆弧
上;当
时,
在椭圆弧
上,
在抛物弧
上;当
时,
、
在椭圆弧
上,利用三角函数性质分别求出
的范围
(1)由的周长为
得
,椭圆
与双曲线
有相同的焦点,所以
,即
,则
,
,则椭圆
的方程为
(2)证明:设“盾圆”上的任意一点
的坐标为
,
当时,
,
,
即;
当时,
,
,
即;
所以为定值.
(3)显然“盾圆”由两部分合成,所以按
在抛物弧
或椭圆弧
上加以分类,由“盾圆
”的对称性,不妨设
在
轴上方(或
轴上);
当时,
,此时
,
;
当时,
在椭圆弧
上,由题设知
代入
得,
,整理得
,解得
或
(舍去)
当时,
在抛物弧
上,方程或定义均可得到
,于是
,
综上,或
;
相应地,,
当时,
在抛物弧
上,
在椭圆弧
上,
;
当时,
在椭圆弧
上,
在抛物弧
上,
;
当时,
、
在椭圆弧
上,
;
综上, ,
;
,
;
的取值范围是

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