Question

7．如图M是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点．
（1）证明：AC₁⊥CD₁；
（2）求A₁到平面AC₁M的距离．

Answer 1

分析 （1）连结C₁D，通过证明CD₁⊥平面ADC₁，然后利用直线与哦买瓷砖的性质定理证明AC₁⊥CD₁；
（2）连结A₁C₁，A₁M，通过${V}_{{A}_{1}-{AMC}_{1}}={V}_{{C}_{1}-{AMA}_{1}}$，列出方程然后求解A₁到平面AC₁M的距离．

解答 解：（1）连结C₁D，由正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的性质可得：CD₁⊥C₁D，且AD⊥平面DCC₁D₁，
又CD₁?平面DCC₁D₁，CD₁⊥AD，又DC₁∩AD=D，∴CD₁⊥平面ADC₁，AC₁?平面ADC₁，
∴AC₁⊥CD₁；
（2）连结A₁C₁，A₁M，
因为M是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，
所以AM=C₁M=$\sqrt{5}$，AC₁=2$\sqrt{3}$，则${S}_{{△AMC}_{1}}=\sqrt{6}$．
又${S}_{{△AMC}_{1}}=\frac{1}{2}{AA}_{1}•AD=2$，
设A₁到平面AC1M的距离为d，
由${V}_{{A}_{1}-{AMC}_{1}}={V}_{{C}_{1}-{AMA}_{1}}$，
可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}d=\frac{1}{3}×2×2$，
所以d=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断与性质定理的应用，点线面距离的求法，几何体的体积的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．