Question

16．三棱柱ABC-ABC中，AA₁⊥面A₁B₁C₁，且AC=AB=1，∠BAC=90°，E，F分别为BC，CC₁的中点，A₁F与平面ABC所成的角为45°．
（1）求三棱锥A₁-B₁EF的体积；
（2）求二面角E-A₁B₁-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得三棱柱底面三角形斜边上的高即为A₁ 到平面BCC₁B₁ 的距离，再由已知通过解直角三角形△B₁FE的面积，则三棱锥A₁-B₁EF的体积可求；
（2）取AC中点G，连接EG，则EG∥A₁B₁，由此可得∠GA₁F即为二面角E-A₁B₁-F的平面角，求解直角三角形得到△A₁GF的三边长，然后利用余弦定理求得二面角E-A₁B₁-F的平面角的余弦值．

解答 解：（1）如图，
∵三棱柱ABC-ABC中，AA₁⊥面A₁B₁C₁，
∴平面BCC₁B₁⊥平面A₁B₁C₁，
又AC=AB=1，∠BAC=90°，
∴Rt△A₁B₁C₁ 斜边上的高即为A₁ 到平面BCC₁B₁ 的距离，等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∵A₁F与平面ABC所成的角为45°，即∠FA₁C₁=45°，则C₁F=A₁C₁=1，
又F为CC₁的中点，∴CC₁=2，
在Tt△B₁BE中，$B{B}_{1}=2，BE=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴${B}_{1}E=\sqrt{{2}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Tt△CEF中，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，CF=1，EF=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△B₁C₁F中，${B}_{1}F=\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
∵${B}_{1}{F}^{2}+E{F}^{2}={B}_{1}{E}^{2}$，∴△B₁FE为Rt△，
则${S}_{△{B}_{1}FE}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴${V}_{{A}_{1}-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{2}}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{4}$；
（2）取AC中点G，连接EG，则EG∥A₁B₁，
∵A₁B₁⊥面AA₁C₁C，∴∠GA₁F即为二面角E-A₁B₁-F的平面角．
在Rt△A₁AG中，∵$AG=\frac{1}{2}，A{A}_{1}=2$，∴${A}_{1}G=\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{2}^{2}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$，
在Rt△A₁C₁F中，∵A₁C₁=1，C₁F=1，∴${A}_{1}F=\sqrt{2}$，
在Rt△GCF中，∵CG=$\frac{1}{2}$，CF=1，∴GF=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴$cos∠G{A}_{1}F=\frac{（\frac{\sqrt{17}}{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{17}}{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{34}}{34}$．

点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．