Question

19．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求平面PEC与平面ECD夹角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点M，连结MF、ME，通过中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，则所求值即为平面PEC的法向量与平面ABCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （1）证明：取PC的中点M，连结MF、ME，
又∵F是PD的中点，∴MF∥DC，且BE=$\frac{1}{2}$DC，
又DC∥AE，∴MF∥AE，
又E是AB的中点，且AB=CD，
∴MF=AE，
∴四边形AEMF是平行四边形，∴AF∥EM，
又EM?平面PEC，AF?平面PEC，
∴AF∥平面PEC；
（2）解：以A为原点建立空间直角坐标系如图，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），
D（0，1，0），E（1，0，0），F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），P（0，0，1），
∴$\overrightarrow{PE}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{EC}$=（1，1，0），
设平面PEC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，
令z=-1，得$\overrightarrow{m}$=（-1，1，-1），
而平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{PA}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PA}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴所求平面PEC与平面ECD夹角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，二面角的计算，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．