Question

在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为（1，0）。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点。

Answer 1

(1)设抛物线的标准方程为，则，
所以抛物线方程为
（2）直线MO的方程：，与联立解得A点坐标，B点坐标，得出直线AB的方程为：，说明直线AB恒过定点（1,0）。

解析试题分析：(1)设抛物线的标准方程为，则，
所以抛物线方程为
（2）抛物线C的准线方程为，设，其中，
直线MO的方程：，将与联立解得A点坐标。
同理可得B点坐标，则直线AB的方程为：
整理得，故直线AB恒过定点（1,0）。
考点：本题主要考查直线方程，抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系。
点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求抛物线标准方程时，主要运用了抛物线的几何性质。（2）证明直线过定点问题时，巧妙地假设，并应用假设字母表示点的坐标，值得学习。