Question

9．已知数列{a_n}的通项a_n=$\frac{nx}{（x+1）（2x+1）…（nx+1）}$，n∈N^*，若a₁+a₂+a₃＜1，则实数x可能等于（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． -$\frac{5}{12}$
• C． -$\frac{4}{7}$
• D． -$\frac{11}{24}$

Answer 1

分析 由数列的递推公式可得a₁+a₂+a₃=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{2x}{（x+1）（2x+1）}$+$\frac{3x}{（x+1）（2x+1）（3x+1）}$，解关于x的不等式结合选项可得．

解答 解：∵数列{a_n}的通项a_n=$\frac{nx}{（x+1）（2x+1）…（nx+1）}$，
∴a₁+a₂+a₃=$\frac{x}{x+1}$+$\frac{2x}{（x+1）（2x+1）}$+$\frac{3x}{（x+1）（2x+1）（3x+1）}$
=$\frac{x（2x+1）（3x+1）+2x（3x+1）+3x}{（x+1）（2x+1）（3x+1）}$=$\frac{x（6{x}^{2}+11x+6）}{（x+1）（2x+1）（3x+1）}$，
∵a₁+a₂+a₃＜1，∴$\frac{x（6{x}^{2}+11x+6）}{（x+1）（2x+1）（3x+1）}$＜1，
∴$\frac{x（6{x}^{2}+11x+6）}{（x+1）（2x+1）（3x+1）}$-1＜0，
通分整理可得$\frac{-1}{（x+1）（2x+1）（3x+1）}$＜0，
∴（x+1）（2x+1）（3x+1）＞0，
解得x＞-$\frac{1}{3}$或-1＜x＜-$\frac{1}{2}$，
故选：C

点评 本题考查数列的递推公式，涉及分式不等式的解集，属中档题．