题目内容
【题目】已知椭圆
的两个焦点分别为
，
，以椭圆短轴为直径的圆经过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
的直线
与椭圆相交于
两点，设直线
的斜率分别为
，问
是否为定值？并证明你的结论.
【答案】（1）
;（2）
为定值2.
【解析】
试题分析：（1）由以椭圆短轴为直径的圆经过点
可得
，由焦点坐标得
，所以
，从而可求出椭圆方程；（2）当直线
的斜率不存在时,求出点
的坐标，可求得
；当当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
,代入椭圆方程得
,则
，
，计算
的值即可.
试题解析：（1）由已知得：
，由已知易得
，解得
，则椭圆
的方程为.
（2）①当直线
的斜率不存在时，由
，解得
，设
，
.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将
代入整理化简，得
，
依题意，直线与椭圆
必相交于两点，设
，则，，
又
，
，
所以
综上得：为定值2.
（说明：若假设直线
为
，按相应步骤给分）
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