Question

16．设函数f（x）=log_a（$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$）+2log_a$\sqrt{{a}^{x}+1}$+log_aa^x-x（a＞0且a≠1）．
（1）化简函数式，并求函数f（x）的定义域；
（2）解不等式f（2x）＞log_a（a^x+1）

Answer 1

分析 （1）根据对数的运算法则进行化简即可求函数式，并求函数f（x）的定义域；
（2）根据不等式以及对数的运算法则即可得到结论．

解答 解：（1）f（x）=log_a（$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$）+log_a（a^x+1）+x-x=log_a[$\frac{{a}^{x}-1}{{a}^{x}+1}$•（a^x+1）]=log_a（a^x-1），
由a^x-1＞0得a^x＞1，若a＞1，则x＞0，若0＜a＜1，则x＜0，
即但a＞1时，函数的定义域为（0，+∞），当0＜a＜1函数的定义域为（-∞，0）．
（2）∵f（2x）=log_a（a^2x-1），
∴若f（2x）＞log_a（a^x+1），
则log_a（a^2x-1）＞log_a（a^x+1），
即a^2x-1＞+1，
即a^2x-a^x-2＞0，
（a^x+1）（a^x-1）＞0，
即a^x＞1．
若a＞1，则x＞0，若0＜a＜1，则x＜0，
故当a＞1时，不等式的解集为（0，+∞），
当0＜a＜1时，不等式的解集为（-∞，0）．

点评 本题主要考查对数式的化简，以及不等式的求解，根据指数不等式和对数不等式的性质是解决本题的关键．