题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且,平面PCD⊥平面ABCD,
,点E为线段PC的中点,点F是线段AB上的一个动点.
(1)求证:平面平面PBC;
(2)设二面角的平面角为
,试判断在线段AB上是否存在这样的点F,使得
,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在;
【解析】
(1)根据平面与平面垂直的性质易知平面
,从而
,由三线合一易证
,从而
平面
,即可由面面垂直的判定定理证明平面
平面PBC;
(2)在平面内过
作
交
于点
,以
为原点,以
,
,
所在直线分别为
轴,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并由题意设
,表示出平面
的法向量和平面
的法向量.根据同角三角函数关系式可由
求得
,结合空间向量夹角运算求得
的值,进而确定
的值.
(1)四边形
是正方形,
∴.
∵平面平面
平面
平面
,
∴平面
.
∵平面
,
∴.
∵,点
为线段
的中点,
∴.
又∵,
∴平面
.
又∵平面
,
∴平面平面
.
(2)由(1)知平面
,
∵,
∴平面
.
在平面内过
作
交
于点
,
∴,故
,
,
两两垂直,以
为原点,
以,
,
所在直线分别为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
.
因为,
,∴
.
∵平面
,则
,
,
又为
的中点,
,假设在线段
上存在这样的点
,使得
,设
,
,
,
设平面的法向量为
,则
∴,令
,则
,则
平面
,
平面
的一个法向量
,
,则
∴.
,解得
,
∴
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高.现对10名成年人的脚掌长与身高
进行测量,得到数据(单位均为
)作为样本如下表所示.
脚掌长(x) | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
身高(y) | 141 | 146 | 154 | 160 | 169 | 176 | 181 | 188 | 197 | 203 |
(1)在上表数据中,以“脚掌长”为横坐标,“身高”为纵坐标,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程;
(2)若某人的脚掌长为,试估计此人的身高;
(3)在样本中,从身高180cm以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析,求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.
(参考数据:,
,
,
)