Question

【题目】设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．
（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；
（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，

则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，

即b2﹣4＜0，

解得：﹣2＜b＜2

（2）解：当b=1时，l必过（0，1）点，

当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，

由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r= ，

故|AB|的最大值为2 ，

当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．

此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d= ，

|AB|=2 =2 ，

故|AB|的最小值为2

【解析】（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，进而得到b的取值范围；（2）b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．