题目内容
【题目】为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中AB=3百米,AD=百米,且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形.拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不计),设∠BAD=
,
(
,
).
(1)当cos=
时,求小路AC的长度;
(2)当草坪ABCD的面积最大时,求此时小路BD的长度.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)在△ABD中,由余弦定理可求BD的值,利用同角三角函数基本关系式可求sinθ,根据正弦定理可求sin∠ADB,进而可求cos∠ADC的值,在△ACD中,利用余弦定理可求AC的值.
(2)由(1)得:BD2=14﹣6cosθ,根据三角形面积公式,三角函数恒等变换的应用可求.SABCD=7
sin(θ﹣φ),结合题意当θ﹣φ
时,四边形ABCD的面积最大,即θ=φ
,此时cosφ
,sinφ
,从而可求BD的值.
(1)在中,由
,
得,又
,∴
.
∵ ∴
由得:
,解得:
,
∵是以
为直角顶点的等腰直角三角形 ∴
且
∴
在中,
,
解得:
(2)由(1)得:,
,此时
,
,且
当时,四边形
的面积最大,即
,此时
,
∴,即
答:当时,小路
的长度为
百米;草坪
的面积最大时,小路
的长度为
百米.
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【题目】田忌赛马是史记
中记载的一个故事,说的是齐国将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发也们的马脚力都差不多,都分为上、中、下三等
于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略:比赛即将开始时,他让田忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田忌赢得公子们许多赌注
假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示:
田忌的马 | 上等马 | 中等马 | 下等马 |
上等马 | 1 | ||
中等马 | |||
下等马 | 0 |
比赛规则规定:一次比由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出骞,结果只有胜和负两种,并且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1000金,即胜利者赢得对方1000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关,得到的统计数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量 | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量(百件)与月份
之间的相关关系.请用最小二乘法求
关于
的线性回归方程
,并预测6月份该商场空调的销售量;
(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销,对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
有购买意愿对应的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查,求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据:线性回归方程,其中
,
.