题目内容
【题目】双曲线的左右焦点分别为
,
,
为坐标原点.
为曲线
右支上的点,点
在
外角平分线上,且
.若
恰为顶角为
的等腰三角形,则该双曲线的离心率为( )
A.B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
延长交
的延长线于点
,根据几何关系,求得
点坐标,代入双曲线方程可得
齐次式,则问题得解.
延长交
的延长线于点
,连接
,过
作
,如下所示:
不妨设,
因为,且
为
的角平分线,故可得
,
故可得,且
为
的中点;
因为为顶角
的等腰三角形,故可得
,
由余弦定理可得,
在中,因为
分别为
的中点,故
;
根据双曲线定义可知:,即
;
又;
联立可得;
因为为顶角
的等腰三角形
故在直角三角形中,
则,由勾股定理可得
故可得点坐标为
,即
,代入双曲线方程可得:
,
整理得:,
同除可得
,
分解因式可得,
解得或
(舍去负根),
则.
故选:D.
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