题目内容

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②若p=a+
1
a-2
（a＞2），q=(
1
2
)x2-2（x∈R），则p＞q，
③已知|
a
|=|
b
|=2，
a
与
b
的夹角为
π
3
，则
a
+
b
在
a
上的投影为3；
④已知f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=
π
4
处取得最小值，则f（
3π
2
-x）=-f（x）．
其中正确命题的序号是
 
．（把你认为正确的命题的序号都填上）
分析：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则
x＞0
lgx＞0
可求x的范围②利用基本不等式可求p=a+
1
a-2
=a-2+
1
a-2
+2≥4，而q=(
1
2
)x2-2≤
1
2
-2=4，则可比较p，q的大小③求
a
+
b
与
a
的夹角θ及|
a
+
b
|，根据投影的定义可得，
a
+
b
在
a
上的投影为|
a
+
b
|cosθ，代入可求④由f（x）=asinx-bcosx在x=
π
4
处取得最小值，可得a=-b，代入到函数中可得f（x）=asinx+acosx=
2
sin(x+
π
4
)把f（
3π
2
-x）代入检验
解答：解：①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则
x＞0
lgx＞0
?x＞1，①正确
②p=a+
1
a-2
=a-2+
1
a-2
+2≥4（a＞2），q=(
1
2
)x2-2≤
1
2
-2=4，则p≥q，②错误
③由|
a
|=|
b
|=2，
a
与
b
的夹角为
π
3
可得
a
+
b
与
a
的夹角为投影为30°，根据投影的定义可得，
a
+
b
在
a
上的投影为
|
a
+
b
|cos30°=2
3
×
3
2
=3，③正确
④f（x）=asinx-bcosx，在x=
π
4
处取得最小值，可得a=-b，则f（x）=asinx+acosx=
2
sin(x+
π
4
)
，f（
3π
2
-x）═
2
sin(
3π
2
-x+
π
4
)=-
2
sin(x+
π
4
)=-f（x），④正确
故答案为：①③④
点评：本题是一道把不等式的性质及利用基本不等式求解最值、向量的夹角及投影的定义的考查、三角函数的性质等知识的综合运用，此类问题在高考中一般会出现在填空的压轴题，要求考生能够熟练的运用所学的知识解决综合问题．
练习册系列答案
相关题目
12、已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
其中正确命题的序号有
①④
．
给出下列四个命题：
①函数y=
1
x
的单调减区间是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②函数y=x2-4x+6，当x∈[1，4]时，函数的值域为[3，6]；
③函数y=3（x-1）2的图象可由y=3x2的图象向右平移1个单位得到；
④若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]；
⑤若A={s|s=x2+1}，B={y|x=
y-1
}，则A∩B=A．
其中正确命题的序号是
③④⑤
③④⑤
．（填上所有正确命题的序号）
将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：
①EF∥AB；②直线EF是异面直线AC与BD的公垂线；③当二面角A-BD-C是直二面角时，AC与BD间的距离为
6
2
；④AC垂直于截面BDE．
其中正确的是
②③④
②③④
（将正确命题的序号全填上）．
给出下列四个命题，其中正确的命题的个数为（　　）
①命题“?x0∈R，2x0≤0”的否定是“?x∈R，2x＞0”；
②log2sin
π
12
+log2cos
π
12
=-2；
③函数y=tan
x
2
的对称中心为（kπ，0），k∈Z；
④[cos（3-2x）]′=-2sin（3-2x）
给出下列四个命题：
①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x3与y=3x的值域相同；
③函数y=
1
2
+
1
2x-1
与y=
(1+2x)2
x•2x
都是奇函数；
④函数y=（x-1）2与y=2x-1在区间[0，+∞）上都是增函数，其中正确命题的序号是（　　）

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