题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若在区间
上单调递增,求m的取值范围;
(2)求在区间
上的最小值
;
(3)讨论在区间
上的零点个数.
【答案】(1);(2)
;(3)当
时,函数有2个零点,当
或
时,函数
有1个零点.
【解析】
(1)求出函数的对称轴,根据函数的单调性求出m的范围即可;
(2)通过讨论m的范围,得到函数的单调区间,求出函数的最小值即可.
(3)结合二次函数的实根分布即可求解
(1)由题意,函数开口向上,对称轴的方程为
,
若使得函数在
上单调递增,则满足
,解得
,
即实数m的取值范围.
(2)①当即
时,函数
在区间
单调递增,
所以函数的最小值为
;
②当,即
时,
函数在区间
单调递减,在区间
上单调递增,
所以函数的最小值为
;
③当即
时,函数
在区间
单调递减,
所以函数的最小值为
,
综上可得,函数的最小值为.
(3)因为函数的对称轴方程为
,且
恒成立,
①当,即
时,函数
在区间
上有2个零点;
②当,此时m不存在;
③当,此时m不存在;
④当,即
,解得
或
时,函数
在区间
上有1个零点.
综上可得:当时,函数
在区间
上有2个零点,
当或
时,函数
在区间
上有1个零点.
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