Question

【题目】设函数，．

（1）讨论函数的单调性；

（2）如果对于任意的，都有成立，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（Ⅰ）第一步，在定义域内求函数的导数，通分化简，第二步，根据定义域，,参数分和两大类情况进行讨论，根据导数的正负，分析函数的单调性；（Ⅱ）根据已知条件的分析，若要不等式恒成立，只需满足，所以第一步，求函数在给定区间的最大值，利用导数；第二步，根据函数最大值是1，所以，然后反解，得到，第三步，利用导数求函数的最大值．此题考查了导数的综合应用，求单调区间，主要讨论参数的取值，恒成立，转化为最值问题．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，

当时，，函数在区间上单调递增；

当a>0时，若，则，函数单调递增；

若，则，函数单调递减；

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（Ⅱ），，

可见，当时，，在区间单调递增，

当时，，在区间单调递减，

而，所以，在区间上的最大值是1，

依题意，只需当时，恒成立，

即恒成立，亦即；

令，

则，显然，

当时，，，，

即在区间上单调递增；

当时，，，，上单调递减；

所以，当x=1时，函数取得最大值，

故，即实数a的取值范围是