题目内容
【题目】已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求的值;
(2)猜测的单调性,并用定义证明;
(3)若对任意,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)减函数;(3)
【解析】试题分析:根据函数为奇函数,利用奇函数的定义和函数定义域中含有x=0,f(0)=0,列方程组解出参数a,b,写出函数的解析式;分离常数容易猜出函数为减函数,用定义法证明函数的单调性,步骤为①取值,②作差,③变形,④断号,最后给出单调性结论.恒成立问题,采用分离参数,求最值,借助“极值原理”求出参数的范围
试题解析:
(1)由,可得
,检验:当
时,
,定义域为
,对任意
,都有
,所以
为奇函数.
(2)在
单调递减. 以下用定义证明:设
,则
,因为函数
在
为增函数,且
,所以
.又因为
,所以
,所以
,所以
在
单调递减.
(3)由可得
,因为
在
单调递减,所以任意
,都有
恒成立,若
,则
,符合题意,所以
;若
,则
,令
,则
,若
,则
,令
,则
,综上所述,实数
的取值范围是
.

练习册系列答案
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【题目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时)
(Ⅰ)应收集多少位女生样本数据?
(Ⅱ)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
(Ⅲ)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |