题目内容

【题目】已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值;

(2)猜测的单调性,并用定义证明;

(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1);(2)减函数;(3)

【解析】试题分析:根据函数为奇函数,利用奇函数的定义和函数定义域中含有x=0,f(0)=0,列方程组解出参数a,b,写出函数的解析式;分离常数容易猜出函数为减函数,用定义法证明函数的单调性,步骤为①取值,②作差,③变形,④断号,最后给出单调性结论.恒成立问题,采用分离参数,求最值,借助“极值原理”求出参数的范围

试题解析:

(1)由,可得,检验:当时, ,定义域为,对任意,都有,所以为奇函数.

(2)单调递减. 以下用定义证明:设,则,因为函数为增函数,且,所以.又因为,所以,所以,所以单调递减.

(3)由可得,因为单调递减,所以任意,都有恒成立,若,则,符合题意,所以;若,则,令,则,若,则,令,则,综上所述,实数的取值范围是.

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