题目内容

.(本小题满分12分)
已知函數f(x)=ln+mx2(m∈R)
(I)求函数f(x)的单调区间;
(II)若m=0,A(a,f(a))、B(b,f(b))是函数f(x)图象上不同的两点,且a>b>0, 为f(x)的导函数,求证:
(III)求证
(1)
上单调递增,在上单调递减.
(2)构造函数利用单调性来证明不等式成立。
(3)在第二问的基础上,进行适当的放缩得到证明。

试题分析:解:(Ⅰ)f(x)的定义域为

时,>0, 上单调递增;
时,<0, 上单调递减.
综上所述:
上单调递增,在上单调递减.…………3分
(Ⅱ)要证,只需证,令即证

因此得证.…………………6分
要证,只要证
,只要证

因此
所以得证.………………9分
另一种的解法:
=,,
 ,
所以单调递增,

得证.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,(),则

所以.………………12分
点评:解决该试题的关键是利用导数的正负来求解函数的单调区间,进而确定出最值,同时利用构造函数的思想,分离参数来求解函数的最值,解决不等式的恒成立问题,同时要对于不等式的证明,要采用适当的放缩来完成,属于难度试题。
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