Question

12．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直线l交y轴与点E（0，1）．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|•|EB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），由此能求出C的标准方程；由斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直线l交y轴与点E（0，1），能求出直线l的参数方程．
（2）直线l与曲线C联立得${t}^{2}-\sqrt{3}t-1=0$，由此能求出|EA|•|EB|的值．

解答 解：（1）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ），
∴x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2，
∵斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$的直线l交y轴与点E（0，1），
∴直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，t为参数．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入（x-1）²+（y-1）²=2，
得${t}^{2}-\sqrt{3}t-1=0$，
∴${t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{3}$，t₁t₂=-1，
∴|EA|•|EB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=|-1|=1．

点评 本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的求法，考查|EA|•|EB|的值的求法，是基础题，解题时要熟练掌握参数方程和极坐标方程的概念．