Question

已知函数f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 3x2，x∈[ 1 2 ，1]

，若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），则x₁•f（x₂）的取值范围为（　　）

A．[ 3 4 ，1)

B．[ 1 8 ， 3 6 )

C．[ 3 16 ， 1 2 )

D．[ 3 8 ，3)

Answer 1

①当 0≤x＜

1

2

时，

1

2

≤f（x）=x+

1

2

＜1．故当x=

1

4

时，f（x）=

3

4

．
②当

1

2

≤x≤1时，

3

4

≤f（x）=3x²≤3，故当x=

3

3

时，f（x）=1．
若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=k，则

1

4

≤x₁ ＜

1

2

≤x₂ ＜1，
如图所示：
显然当k=f（x₁）=f（x₂）=

3

4

时，x₁•f（x₂）取得最小值，
此时，x₁=

1

4

，x₂=

1

2

，x₁•f（x₂）的最小值为

1

4

×

3

4

=

3

16

．
显然，当k=f（x₁）=f（x₂）趋于1时，x₁•f（x₂）趋于最大，
此时，x₁趋于

1

2

，x₂趋于

3

3

，x₁•f（x₂）趋于

1

2

×1=

1

2

．
故x₁•f（x₂）的取值范围为 [

3

16

，

1

2

)，
故选C．