Question

5．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得$A'{A_1}^′$与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比；
（3）试判断直线AQ是否与平面A₁C₁P平行，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，要证：AB⊥平面BCC₁B₁；只需证明AB垂直平面内的两条相交直线，BC和BB₁即可．
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比，先求下部四棱锥的体积，再求棱柱的体积，然后求出两部分体积比．
（3）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法能求出直线AQ与平面A₁C₁P不平行．

解答 证明：（1）∵AB=3，BC=4，
∴AC=12-3-4=5，
从而有AC²=AB²+BC²，∴AB⊥BC，
又∵AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁．
解：（2）∵BP=AB=3，CQ=AC=7，
∴S_BCQP=$\frac{（BP+CQ）•BC}{2}$=$\frac{（3+7）×4}{2}$=20，
∴V_A-BCQP=$\frac{1}{3}{S}_{BCQP}•AB=\frac{1}{3}×20×3$=20．
又∵${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=S_ABC•AA₁=$\frac{1}{2}×3×4×12=72$，
∴平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比为：$\frac{{V}_{上}}{{V}_{下}}$=$\frac{72-20}{20}=\frac{13}{5}$．
（3）直线AQ与平面A₁C₁P不平行．
理由如下：
以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（3，0，0），Q（0，4，7），A₁（3，0，12），C₁（0，5，12），P（0，0，3），
$\overrightarrow{AQ}$=（-3，4，7），$\overrightarrow{P{A}_{1}}$=（3，0，9），$\overrightarrow{P{C}_{1}}$=（0，5，9），
设平面A₁C₁P的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{A}_{1}}=3x+9z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{C}_{1}}=5y+9z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\frac{9}{5}$，-1），
∵$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{n}$=-9+$\frac{36}{5}$-7=$\frac{46}{5}$≠0，
∴直线AQ与平面A₁C₁P不平行．

点评 本题考查直线与平面垂直，棱锥、棱柱的体积求法，考查线面是否平行的判断，考查空间想象能力，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．