Question

（2013•济宁一模）在△ABC中，G是△ABC的重心，AB、AC的边长分别为2、1，∠BAC=60°．则

AG

•

BG

=（　　）

• A．-

  8

  9

• B．-

  10

  9

• C．

  5- 3

  9

• D．-

  5- 3

  9

Answer 1

分析：在△ABC中，由余弦定理可得BC=

3

，可得△ABC为直角三角形，由cosA=

AC

AB

=

1

2

，可得A=60°，故 B=30°．建立平面直角坐标系，求得A、B、C的坐标，再求出重心G的坐标，可得

AG

 

BG

的坐标，从而求得

AG

•

BG

的值．

解答：解：在△ABC中，由余弦定理可得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=4+1-4cos60°=3，
∴BC=

3

，∴AC²+BC²=AB²，∴C=90°，故△ABC为直角三角形．
再由cosA=

AC

AB

=

1

2

，可得A=60°，故 B=30°．
以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则C（0，0）、
 A （1，0），B（0，

3

），故△ABC的重心 G（

1

3

，

3

3

），
∴

AG

=（-

2

3

，

3

3

）、

BG

=（

1

3

，

-2 3

3

），
∴

AG

•

BG

=（-

2

3

，

3

3

）•（

1

3

，

-2 3

3

）=

-2

9

+

-6

9

=-

8

9

，
故选A．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角形的重心的性质，属于中档题．