题目内容

(本小题满分16分)已知函数a>0,且a≠1),其中为常数.如果 是增函数,且存在零点(的导函数).

(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)设Ax1y1)、Bx2y2)(x1<x2)是函数ygx)的图象上两点, 为的导函数),证明:

(Ⅰ) a=e   (Ⅱ)  见解析


解析:

(Ⅰ)因为,所以.3分

因为hx)在区间上是增函数,所以在区间上恒成立.

若0<a<1,则lna<0,于是恒成立.又存在正零点,故△=(-2lna2-4lna=0,lna=0,或lna=1与lna<0矛盾.所以a>1.由恒成立,又存在正零点,故△=(-2lna2-4lna=0,所以lna=1,即a=e.………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ),,于是.…………9分

以下证明. (※)(※)等价于. 11分

rx)=xlnx2xlnxx2x,……………………………13分

r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以rx)在(0,x2]上为增函数.

x1<x2时,rx1)< rx2)=0,即从而得到证明.…15分

对于同理可证所以.…16分

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