Question

【题目】已知椭圆 +y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为± ． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当P点在x轴上时，P（2，0），PA： ， ，
△=0a2=2，椭圆方程为 ；
（Ⅱ）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1 ， y1），
则 （1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0△=0m2=2k2+1，…7
且 ，y0=2k+m
则 ，
PA直线为 ，A到直线PO距离 ，
则
= ，
∴（S﹣k）2=1+2k2k2+2Sk﹣S2+1=0，
，此时 ．

【解析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2 ， 即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得|PA|及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=|k+ |，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．