Question

【题目】已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N* ， n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．

1

2

3

…

m+n

（Ⅰ）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；
（Ⅱ）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，
则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ）
=
= = ．
证明：（Ⅱ）∵X的所有可能取值为 ，…， ，
P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，
∴E（X）= （ ）=
= ＜ =
= （ ）
= = ，
∴E（X）＜ ．
【解析】（Ⅰ）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2| ）P（ ），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值为 ，…， ，P（x= ）= ，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）= （ ）= ，由此能证明E（X）＜ ．