题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,平面
平面
.四边形
为正方形,且
为
的中点,
为
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【证明】:(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面SAD.
(2)取SC的中点R,连接QR,DR.
由题意知,PD∥BC且PD=BC.
在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,所以QR∥BC且QR=BC.
所以QR∥PD且QR=PD,则四边形PDRQ为平行四边形,所以PQ∥DR.
又PQ平面SCD,DR平面SCD,
所以PQ∥平面SCD.
【解析】:
分析:(Ⅰ)证明CD⊥AD,然后证明CD⊥平面SAD.
(Ⅱ)取SC的中点R,连QR,DR.推出PD=BC,QR∥BC且QR=
BC.然后证明四边形PDRQ为平行四边形,即可证明PQ∥平面SCD.
详解:
(1)因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又平面SAD⊥平面ABCD,且平面SAD∩平面ABCD=AD,
所以CD⊥平面SAD.
(2)取SC的中点R,连接QR,DR.
由题意知,PD∥BC且PD=BC.
在△SBC中,Q为SB的中点,R为SC的中点,所以QR∥BC且QR=BC.
所以QR∥PD且QR=PD,则四边形PDRQ为平行四边形,所以PQ∥DR.
又PQ平面SCD,DR平面SCD,
所以PQ∥平面SCD.
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