Question

（2011•广东模拟）已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足a₂•a₃=45，a₁=a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设由b_n=

Sn

n+c

（c≠0）构成的新数列为{b_n}，求证：当且仅当c=-

1

2

时，数列{b_n}是等差数列；
（3）对于（2）中的等差数列{b_n}，设c_n=

8

(an+7)•bn

（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和为T_n，现有数列{f（n）}，f（n）=T_n•（a_n+3-

8

bn

）•0.9ⁿ（n∈N^*），是否存在n₀∈N^*，使f（n）≤f（n₀）对一切n∈N^*都成立？若存在，求出n₀的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由等差数列的性质，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，与a₂•a₃=45联立，计算可得数列{a_n}的通项公式；
（2）首先计算Sn，代入数列 {

Sn

n+c

}，可得其通项公式，运用等差中项的性质分析，可得答案．
（3）求出c_n的表达式，数列{c_n}的前n项和为T_n，得到f（n）的关系式，通过作差法对n讨论，求出n的取值，

解答：解：（1）∵等差数列{a_n}中，公差d＞0，
∴

a2•a3=45 a1+a4=14

⇒

a2•a3=45 a2+a3=14

⇒

a2=5 a3=9

⇒d=4⇒an=4n-3（3分）
（3分）
（2）Sn=

n(1+4n-3)

2

=n(2n-1)，bn=

Sn

n+c

=

n(2n-1)

n+c

，
由2b₂=b₁+b₃得

12

2+c

=

1

1+c

+

15

3+c

，化简得2c²+c=0，c≠0，
∴c=-

1

2

反之，令 c=-

1

2

，即得b_n=2n，显然数列{b_n}为等差数列，
∴当且仅当 c=-

1

2

时，数列{b_n}为等差数列．（9分）
（3）c_n=

8

(an+7)•bn

=

1

(n+1)n

=

1

n

-

1

n+1

，∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

f（n）=Tn•（an+3-

8

bn

）•0.9ⁿ=

n

n+1

•(4n-

4

n

) •0.9n=4（n-1）•0.9ⁿ（11分）
∵f（n+1）-f（n）=4•0.9ⁿ[0.9n-（n-1）]=4•0.9ⁿ[1-0.1n]n∈N⁺
∴当n＜10时，f（n+1）＞f（n），当n=10时，f（n+1）=f（n），当n＞10时，f（n+1）＜f（n），
f（n）_max=f（10）=f（11），（13分）
∴存在n₀=10或11，使f（n）≤f（n₀）对一切n∈N^*都成立．（14分）

点评：本题考查等差数列的通项公式的运用，注意结合等差数列的性质分析，可以减少运算量，降低难度．考查数列的求和，解题的方法是解方程与不等式的思想，体现的数学思想是转化思想．