题目内容
(本小题共14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为,离心率,过右焦点的直线交椭圆于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当直线的斜率为1时,求的面积;
(Ⅲ)若以为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线的方程.
已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为,离心率,过右焦点的直线交椭圆于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当直线的斜率为1时,求的面积;
(Ⅲ)若以为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线的方程.
(1)
(2)
(3)
解:(Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为. ----------------1分
∵长轴长为,离心率,
∴.
所求椭圆方程为. ---------------- 4分
(Ⅱ)因为直线过椭圆右焦点,且斜率为,所以直线的方程为.
设,
由 得 ,解得.
∴. ---------------9分
(Ⅲ)当直线与轴垂直时,直线的方程为,此时小于,为邻边的平行四边形不可能是矩形.
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.
由 可得.
∴.
,
因为以为邻边的平行四边形是矩形.
由得,
.
所求直线的方程为. ----------------1 4分
∵长轴长为,离心率,
∴.
所求椭圆方程为. ---------------- 4分
(Ⅱ)因为直线过椭圆右焦点,且斜率为,所以直线的方程为.
设,
由 得 ,解得.
∴. ---------------9分
(Ⅲ)当直线与轴垂直时,直线的方程为,此时小于,为邻边的平行四边形不可能是矩形.
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.
由 可得.
∴.
,
因为以为邻边的平行四边形是矩形.
由得,
.
所求直线的方程为. ----------------1 4分
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