Question

（本小题满分12分）(原创题)
在平面直角坐标系中，已知，若实数使向量。
（1）求点的轨迹方程，并判断点的轨迹是怎样的曲线；
（2）当时，过点且斜率为的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为，能否在直线上找一点，使为正三角形（请说明理由）。

Answer 1

当时，方程为，P的轨迹是圆。
当，即时，方程为，点的轨迹是双曲线。
当，即=±1时，方程为，点的轨迹是射线。,在直线上找不到点满足条件

解：（1）由已知可得，,,,
∵，∴
即点的轨迹方程
当，且，即时，有，
∵，∴，∴
∴P点的轨迹是点为长轴的焦点在轴上的椭圆。………………………………3分
当时，方程为，P的轨迹是圆。
当，即时，方程为，点的轨迹是双曲线。
当，即=±1时，方程为，点的轨迹是射线。……………………6分
（2）过点且斜率为的直线方程为,
当时，曲线方程为，
由（1）知，其轨迹为以为长轴的焦点在轴上的椭圆。
因直线过
所以，点B不存在。
所以，在直线上找不到点满足条件。          …………………………12分